万年历

   三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。

三角函数起源

   “三角学”,英文Trigonometry,法文Trigonometrie,德文Trigonometrie,都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》,创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及μετρει υ(测量)两字构成的,原意为三角形的测量,或者说解三角形。古希腊文里没有这个字,原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

   早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候,由于垦殖和畜牧的需要,人们就开始作长途迁移;后来,贸易的发展和求知的欲望,又推动他们去长途旅行。在当时,这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或者经水路沿着海岸线作长途航行,无论是那种方式,都首先要明确方向。那时,人们白天拿太阳作路标,夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路,也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。

   就这样,最初的以太阳和星星为目标的天文观测,以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说,三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

商的关系:

平方关系:

tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1

sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα

sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α

 

诱导公式

sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
   

sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα

sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα

sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα

sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα

sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα

sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα

sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
(其中k∈Z)

 

两角和与差的三角函数公式

万能公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

              tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
             1-tanα ·tanβ

              tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
             1+tanα ·tanβ

        2tan(α/2)
sinα=——————
       1+tan2(α/2)

       1-tan2(α/2)
cosα=——————
       1+tan2(α/2)

       2tan(α/2)
tanα=——————
      1-tan2(α/2)

 

半角的正弦、余弦和正切公式

三角函数 的降幂公式
三角函数的降幂公式 半角的正弦、余弦和正切公式
   

二倍角的正弦、余弦和正切公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

         2tanα
tan2α=—————
        1-tan2α

sin3α=3sinα-4sin3α

cos3α=4cos3α-3cosα

       3tanα-tan3α
tan3α=——————
        1-3tan2α

   

三角函数的和差化积公式

三角函数的积化和差公式

                 α+β       α-β
sinα+sinβ=2sin—--·cos—-—
                  2          2
                 α+β       α-β
sinα-sinβ=2cos—--·sin—-—
                  2          2
                 α+β       α-β
cosα+cosβ=2cos—--·cos—-—
                  2          2
                   α+β       α-β
cosα-cosβ=-2sin—--·sin—-—
                    2          2
           1
sinα ·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]
           2
           1
cosα ·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]
           2
           1
cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]
           2
              1
sinα ·sinβ=- -[cos(α+β)-cos(α-β)]
              2
 
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)
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